[置顶] 加州理工学院公开课：机器学习与数据挖掘_Radial Basis Function（第十六课）
来源：程序员人生 发布时间：2015-02-02 08:32:25 阅读次数：3766次
课程简介 :
主要介绍了 RBF 模型及其与最近邻算法、神经网络、Kernel Method 的比较。最后介绍了 RBF 模型的 regularization 问题。
课程提纲 :
1、what is RBF
2、RBF and nearest neighbors
3、RBF and neural networks
4、RBF and kernel methods
5、RBF and regularization
1、what is RBF
RBF 是基于半径的1个模型。由于训练集中的每个点都会对训练集（h(x)）造成影响，但是影响的方式会因问题而异。这1节课主要讨论的是训练集中的点对模型的影响是基于：||X-Xn|| 的情势的。也就是说是基于半径的（based on radial ）。
标准情势：（下面的模型是高斯散布模型，固然也能够用其它的模型，但是既然是radial based，那末就必须得存在||x-xn||项）
有了模型，我们还需要学习它的参数，上述公式中的参数主要有两个：wn 和 γ。γ 会影响高斯散布曲线的形状（肥瘦）。现在暂时放下 γ 参数，先来看看如何学习 wn。
学习的条件是要有1个指点方针。这里的指点方针就是h(xm) == ym。 其中 ym 是数据的真实值（对分类问题就是标签）。
所以我们的问题就是解下面的方程：（为了1致性，下述公式中的xm对应上述公式的 xn，下述公式中的 xn 对应上述公式中的 x）
用矩阵表示以下：
如果矩阵可逆，则有：（听说可以利用插入法求解）
到目前为止，我们可以成功的利用训练数据求得参数 W ，1切都很顺利，那末是否是说明只要我们再把 γ 求出来就能够了呢？
答案是不是定的，由于这里存在1个过拟化的问题。明显上述的方法得到的解，对样本内数据来讲，误差为 0，之前说过，这其实不是1件好事，由于这样会致使泛化能力减弱。这里利用到的解决方法是：聚类。
2、RBF and nearest neighbors
对第1点中提到的过拟化问题，可以利用聚类方法进行解决。
基本思路：利用某种方法（比如：k-means）把训练数据聚成 k 个类。每一个聚类中心代表该类进行训练。
因此模型变成：
针对上述模型，存在两个问题:
1、如何选择 k 个中心点。
2、如何学习 wk。
第1点可以利用 k-means 方法解决。现在主要看看第2点：
由于现在参数 wk 变成k个，因此该模型会存在误差，有：
通过解上述方程，我们可以求出 W（具体怎样解？还得恶补线性代数。。。）
现在剩下的问题就是如何求解 γ 了。下面用到的方法叫做：混合高斯模型的期望最大化（EM algorithm in mixture of Gaussians）
第1步：固定 γ，求解 W
第2步：固定W，求出使模型误差最小时对应的 γ。
第3步：跳回第1步，直到满足终止条件。（迭代m次等。）
3、RBF and neural networks
通过上面步骤，已可以求解出 RBF 模型了。现在看看其与神经网络的比较：
通过上图我们可以知道：
1、RBF network 和 neural network 在情势上是1致的。
2、对 RBF network 第1级输入参数是固定的：||x-μi||，但是对 neural network，对应的参数需要通过反向传播进行学习。
3、对 RBF network 当第1级输入值很大的时候，对应节点的输出会变得很小（高斯模型），而对 neural network 则不存在这1特点，根具体节点使用的函数有关。
4、RBF and kernel methods
再来看看 RBF 与 SVM kernel 的对照。
首先在情势上：
SVM kernel： RBF：
对 RBF ，增加额外的参数b，并且转变成而分类问题。这样是为了更方便地与 SVM kernel 比较。
我们关心的第1个问题是：它们的表现如何？ 下面的图显示了这两个模型的表现（绿色线表示目标函数 ）：
可以看到，虽然是来自两个不同世界的模型，但是他们的表现却很接近（SVM 更好1点），不过在具体的问题中，很难说清楚谁的效果更好。
注意，上图中RBF 用到的聚类数量 k == svm 中的支持向量数。
5、RBF and regularization
注意：关于聚类中的 k 如何选择？我开始认为是不是可以计算出 VC 维作为参考？在课堂最后的时候学生也问到这个问题，不过教授说不能这样做。是 k -> VC 而不是 VC->k.
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