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[置顶] splay复习小记

来源:程序员人生   发布时间:2016-07-04 12:11:56 阅读次数:2209次

简介

splay的原名是舒展树,1种超级实用的数据结构,能快速地干很多数据结构不能干的事情。
很久之前就听说过并且稍微地学了1些,但是当时了解地其实不是很多。
有些人把splay达成spaly叫做死吧你,(⊙﹏⊙)b

结构

实质上他是1个2叉搜索树,就是每一个节点的左儿子在原序列中是在自己左侧的,右儿子在原序列中是在自己右侧的,构图的方式有很多。
每个节点都可以存储1些值,表示它的子树中的信息(比如说甚么最大值啊,和啊以内的)。

构图

fo(i,1,n){ scanf("%d",&a[i+1]);f[i]=i+1; t[i+1][0]=i;update(i+1); } f[n+1]=root=n+2,t[n+2][0]=n+1;update(n+2);

初学者的构图可以构成1条链。这样很明显左儿子在原序列上的位置是在自己左侧的了。

但是有1个很奇妙的问题,为何从2号点开始建?为何建完点还要再向上多开1个n+2号点?

其实这类打法可以免后面的特判,现在的1号点和n+2号点是建立在首尾两段的,如果不建立这两个点2号点的儿子和n+1号点的父亲都会指向0并传递信息,但是首尾建立1个虚点在修改操作中可以更方便的操作。比如说旋转的时候要触及到首尾的时候,如果没有虚点,没法把首尾单独放到1个子树中去。

其实建成1条链在后面的操作会很慢。

int build(int l,int r,int y){ if(l>r)return 0; int mid=(l+r)/2; int x=insert(a[mid]);f[x]=y; if(l==r)return x; tt[x][0]=build(l,mid-1,x); tt[x][1]=build(mid+1,r,x); update(x); return x; } root=build(0,n+1,0);

insert是建点操作,到后面再讲。
这样1开始就建成1颗2叉树会比较快。

功能

旋转

首先讲1个重要的部份,就是旋转。
这里写图片描述
其实splay这颗2叉树的中序遍历就是原序列,例如图中的原序列就是:AXBYC。现在我们要把x旋转到y的位置上,但是不能改变这棵树的中序遍历(及在原序列的前后顺序)。

bool son(int x){ if(tt[f[x]][0]==x)return 0;return 1; } void rotate(int x){ int y=f[x],z=son(x); tt[y][z]=tt[x][1-z]; if(tt[x][1-z])f[tt[x][1-z]]=y;f[x]=f[y]; if(f[y])tt[f[y]][son(y)]=x; f[y]=x;tt[x][1-z]=y; update(y);update(x); }

其实代码很短(f[x]表示x的父亲,tt[x][0]和tt[x][1]分别是x的左右儿子)。
函数son(x)的作用是分辨x是其父亲的左儿子还是右儿子(左儿子是0,右儿子是1)。
当把x旋转到y是,y就成为的x的右儿子,但是x原来的右儿子B就没有地方放了。怎样办?我们发现在原序列中的顺序是X < B < Y, 所以B应当在X的右侧但是在Y的左侧,所以现在Y的左儿子应当是B右儿子不变。如图所示。
代码应用了1个小技能z和1-z恰好把0和1转化,也能够打成z和z^1(^是xor,异或)。

将x节点旋转为y节点的儿子

void splay(int x,int y){ if(x==y)return; remove(x,y); while(f[x]!=y){ if(f[f[x]]!=y)if(son(f[x])==son(x))rotate(f[x]);else rotate(x); rotate(x); } if(!y)root=x; }

remove是懒标记下传,后面再讲。
为何是把x旋转为y的儿子,由于这样更加方便的操作,比如说要对x的子树进行操作,如果变成把x旋转到y的位置会麻烦很多而且不方便打。
旋转的思路:如果x和x的父亲和x的爷爷是1条折线,那末就旋转成不是1个折线,然后像上面将的旋转1样向上推动。具体的最好自己画个图,有益于理解。
1般像splay(x,0)就是把x旋转为根节点,splay(x,y)就是把x旋转为y的儿子(具体是左儿子还是有儿子根据原序列中的顺序来定)

节点值的更新

void update(int x){ if(!x)return; t[x].size=1+t[tt[x][0]].size+t[tt[x][1]].size; t[x].sum=key[x]+t[tt[x][0]].sum+t[tt[x][1]].sum; t[x].lda=max(t[tt[x][0]].lda,t[tt[x][0]].sum+key[x]+t[tt[x][1]].lda); t[x].rda=max(t[tt[x][1]].rda,t[tt[x][1]].sum+key[x]+t[tt[x][0]].rda); t[x].mx=max(max(t[tt[x][0]].mx,t[tt[x][1]].mx),t[tt[x][0]].rda+t[tt[x][1]].lda+key[x]); }

当x节点的子节点变动是就需要更新,具体更新的内容据题目而定。

对1段节点进行操作

x=kth(root,l-1);splay(x,0); y=kth(root,r+1);splay(y,x);

如果要对[l,r]这段区间进行操作。思路:先把这段区间同时放到1颗子树上去且这可子树没有其他过剩的节点。
首先如果把l⑴旋转成根节点,那末[l,n]的节点都会在l⑴(及root)的左子树上。然后再把r+1旋转为l⑴的儿子,由于r+1在序列中再l⑴的右侧,所以r+1旋转以后1定是l⑴的右儿子,那末在原序列中的顺序大于l⑴的,小于r+11定都是现在r+1节点的左子树了。
那末现在只要对r+1的左子树进行操作就行了。

printf("%d\n",t[tt[y][0]].mx);

比如要输出[l,r]段的最大值,上段程序后面只用加上这段程序就能够了。

插入1个或1段节点

现在要把a数组中的数从posi位置后开始插入进序列中。
参照对1段节点进行操作

fo(i,1,k)scanf("%d",&a[i]); x=kth(root,posi);splay(x,0); y=kth(root,posi+1);splay(y,x); tt[y][0]=build(1,k,y);

现在只需要把这k个数插进y的左子树中就能够了。build就是上面构图中的build,实质就是把a数组1到k中的节点插为y的子树。

删除1个或1段节点

现在要从posi这个位置开始删去k个节点。
参照对1段节点进行操作

scanf("%d%d",&posi,&k);posi++; x=kth(root,posi⑴);splay(x,0); y=kth(root,posi+k);splay(y,x); del(tt[y][0]); tt[y][0]=0; update(y);update(x);

这里也同理,由于要从posi开始删节点,序列的位置要比posi⑴大,比posi+k小。
del函数是甚么呢?

void del(int x){ if(!x)return; shan[++shan[0]]=x; del(tt[x][0]);del(tt[x][1]); }

由于删去了1些点,这些点原来的位置不能浪费在那里,用1个栈存起来,建点的以后再用。

建点操作

int insert(int x){ int o; if(shan[0])o=shan[shan[0]--];else o=++num;//主要是这行 初始化 .例如:key[o]=t[o].sum=t[o].mx=x;t[o].size=1;根据题目而定 . . }

为了避免空间的浪费,如果还有删除过得节点的位置空在那里的话,就调用出来,否则就新建1个位置。

区间的修改操作

例如从posi开始后的k个点都加上k,参照对1段节点进行操作

x=kth(root,posi⑴);splay(x,0); y=kth(root,posi+k);splay(y,x); change(tt[y][0],zhi); update(y);update(x);

同理。

void change(int x,int y){//这里打的是区间加操作,据题目而定 if(!x)return; t[x].sum+=t[x].size*y; key[x]+=y;t[x].add+=y;//add是懒标记,用于标记下传 if(y>0)t[x].lda=t[x].rda=t[x].mx=t[x].sum;//这里是某道题的修改,据题目而定 else t[x].lda=t[x].rda=0,t[x].mx=y; }

懒标记下传

void down(int x){ if(!x)return; if(t[x].add!=maxn){ change(tt[x][0],t[x].add); change(tt[x][1],t[x].add); t[x].add=maxn; } }
void remove(int x,int y){ do{ d[++d[0]]=x; x=f[x]; }while(x!=y); while(d[0])down(d[d[0]--]); }

这类东西支持区间修改的数据结构都要用到的,但是splay中的有所不同,由于只有在旋转的以后才用的到,例如splay(x,y),所以需要把x到y的路径上的标记都下传。

区间翻转操作

例如把x的子树的区间翻转。

void overturn(int x){ if(!x)return; swap(tt[x][0],tt[x][1]); t[x].biao^=1; }

其实很简单,只需要把所有节点的左右儿子调换便可。注意懒标记的biao要用^或1-biao,由于如果某段区间被同时翻转两次相当于没有翻转。

查询序列中第k个位置

int kth(int x,int k){ down(x); if(t[tt[x][0]].size+1==k)return x; if(t[tt[x][0]].size+1>k)return kth(tt[x][0],k); else return kth(tt[x][1],k-t[tt[x][0]].size-1); }

这个很简单啦。
其实如果想知道第x节点在序列中的序号的话,可以把x旋转到根(及splay(x,0)),然后t[tt[x][0]].size+1就是x在原序列中的序号。

区间分离

把x为根节点的这棵树以原序列序号y为分水岭,分成l和r两颗子树。

void split(int x,int y,int &l,int &r){ int j=kth(x,y); splay(j,0); l=j,r=t[j][1]; tt[l][1]=0; f[r]=0; update(j); }

区间合并

把以x为根的树和以y为根的树合并为树l。
为何要找到x树中第 size[x]大(及在原序列中序号最大的节点)的节点,由于在原序列中序号最大的节点没有右儿子,方便合并。

void merge(int x,int y,int &l){ int j=kth(x,size[x]); splay(j,0); tt[j][1]=y; f[y]=j; update(j); l=j; }

保护各种的树

比如说Link_Cut_Tree(及lct或动态树)……

由于本人是个蒟蒻

目前也只知道这么多了,但是这些操作在大部份题目中都够用了。

入门题

【CQOI2014】排序机械臂
【NOI2005】保护数列
甚么最大值,排序也能够用splay来练练手。

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