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0-1背包问题与分数背包问题

来源：程序员人生发布时间：2015-08-24 08:22:04 阅读次数：7630次

0⑴背包问题与分数背包问题
- 问题描写
- 问题分析之分数背包
- 代码设计之分数背包问题
- 问题分析之0⑴背包问题
- 代码设计之0⑴背包问题
- 动态计划算法之间的差别

0⑴背包问题与分数背包问题

我们在文章《贪心算法原理》:http://blog.csdn.net/ii1245712564/article/details/45369491中提到过动态计划和贪心算法的区分。和两个经典的例子：0⑴背包问题和分数背包问题，我么知道0⑴背包问题是不能够使用贪心算法求解的，而贪心算法则是分数背包问题的不2之选。
这次我们来侧重实现1下0⑴背包问题的动态计划解法和分数背包问题的贪心算法。

问题描写

0⑴背包问题：我们有1堆物品 $S=lbrace a_1,a_2,...,a_n brace$ ,每个物品 $a_i$ 都有1个重量 $w_i$ 和1个价值 $v_i$ .现在有1个背包，这个背包的容量为 $W$ ,现在要将这些物品在不超越背包容量的情况下选择性的放入背包，使得背包里面物品的价值最大，物品不能只选取其中1部份，必须选择全部，或不选！

分数背包问题：这个问题和上面的问题比较类似，唯1不同的就是该问题里面的物品可以进行分割，便可以只选取1个物品 $a_i$ 的1部份

这里我们采取例子：

我们有3个物品和1个容量为 $50$ 的背包，这3个物品<重量,价值>分别为: $a1<10,60>,a2<20,100>,a3<30,120>$ .

问题分析之分数背包

为简单期间，我们首先来分析1下分数背包问题。如果要设计1个贪心算法，那末首先要肯定1个贪心策略，换句话说就是要怎样在当前的情况下做出1个公道的贪心选择。
我们首先得到每个物品单位重量的价值 $v_i/w_i$ ,那末我们要设计1个贪心策略来使得装入背包物品的价值最大。我们的第1直觉肯定是要选择单位重量价格最高的喽，然后再选择物品里面第2高的，1次类推直到装满背包为止！

下面我们来证明1下上面贪心选择的料想：

证明:

我们首先假定我们有1个最优解 $A_1$ ,那末我们首先找到 $A_1$ 里面平均价值最高的物品 $a_m$ ，让后我们将用商品里面平均价值最高的物品 $a_1$ 将 $a_m$ 进行全部替换或部份替换得到解 $A_2$ ，又因 $v_1/w_1 geq v_m/w_m$ 所以 $A_2$ 的总价值高于 $A_1$ 的总价值，这 $A_1$ 是最优解矛盾，因而得到 $A_1$ 里面包括平均价值最高的物品。

因而我们得到最优子结构 $S_i = S_k +a_k$ ， $a_k$ 是 $S_i$ 里面平均价值最高的， $S_k$ 是选择 $a_k$ 剩下来的物品。

代码设计之分数背包问题

依照我们上面描写的分数背包问题的最好贪心策略，每次都选出平均价值最高的物品

/*************************************************
* @Filename:    fractionPackage.cc
* @Author:      qeesung
* @Email:       qeesung@qq.com
* @DateTime:    2015-04⑶0 14:44:28
* @Version:     1.0
* @Description: 贪心策略，分数背包问题
**************************************************/

#include <iostream>
#include <utility>
#include <vector>

using namespace std;

#define PACKAGE_CAPACITY 50

/**
 * 求得goodslist对应的最大价值,我们首先假定物品依照平均价值降序排序
 * @param  goodsList 商品列表
 * @return           最大价值
 */
unsigned fractionPackage(std::vector<pair<unsigned , unsigned> > goodsList)
{
    unsigned valueSum=0;
    unsigned capacitySum=0;
    for (int i = 0; i < goodsList.size(); ++i)
    {
        // 转完这次就退出
        if(goodsList[i].second + capacitySum >= PACKAGE_CAPACITY)
        {
            valueSum+=(PACKAGE_CAPACITY - capacitySum)*(goodsList[i].first/goodsList[i].second);
            return valueSum;
        }
        valueSum+=goodsList[i].first;
        capacitySum+=goodsList[i].second;
    }
    return valueSum;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    std::vector<pair<unsigned , unsigned> > goodsList;
    goodsList.push_back(pair<unsigned , unsigned>(60,10));
    goodsList.push_back(pair<unsigned , unsigned>(100,20));
    goodsList.push_back(pair<unsigned , unsigned>(120,30));
    cout<<"max value is : "<<fractionPackage(goodsList)<<endl;
    while(1);
    return 0;
}

运行结果为:

max value is 240

我们这里首先选择平均价值最高的a1放入背包，然后放入a2,由于此时a3不能全部放入背包，因而我们放入a3的1部份进入到背包。这里也很好理解，那就是我们在物品总能装满背包的情况下，背包总是可以被装满的，我们如果要使总价值最高，那我们就应当提升平均的价值密度，那就把平均价值最高的顺次放入背包！

问题分析之0⑴背包问题

为何我们不能用贪心算法来解决0⑴背包问题呢，我们只需要举1个反例就能够了，我们还是依照之前的将平均价值最大的放入背包里面，放入 $a_1$ ,然后 $a_2$ , $a_3$ 已不能再放入了，因而我们得到背包物品总价值为 $60+100=160$ ，但是这个是最优解么？肯定不是,由于只放入 $a_2$ 和 $a_3$ 总价值就到达 $100+120=220$ ,所以这里我们只能另辟蹊径。
每个物品只有两种选择，那就是放入背包与不放入背包。所以我们要做的就是决定1个物品是放入还是不放入背包。
在求解动态计划问题中，我们首先要做的,就是找到最优子结构和递归表达式。因而我们假定 $f(i,W)$ 为有<

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