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卡特兰数

来源：程序员人生发布时间：2015-05-06 09:25:38 阅读次数：2528次

Catalan数的定义：

设表示用下面的方法把凸多边形区域分成3角形区域的方法数：在有n+1条边的凸多边形区域内通过插入在其中不相交的对角线而把它分成3角形区域。定义。则满足递推关系

这个递推关系的解是：，这里的叫做Catalan数。

那末上面的递推式的正确性我们可以简单描写1下便可：

证明：这里由于表示依照上述规则划分的3角形区域个数，那末我们随意选1条多边形的1条边作为基边，那末

再在剩余的n⑴个点当选1个点，我们把所选的1条边的两点分别与所选的那1点连接起来，那末多边形被划

分成3部份，1部份有k+1条边，1部份有3条边，另外一部份有n-k+1条边，那末这样就划分成了子问题了，所

以依照这个思路可以证明递推式成立。

那末根据递推式是如何推出Catalan数的通项公式呢？

这里用到了生成函数：我们很容易写出的生成函数

我们进1步计算

由于有：，所以进1步得到：

，由于

所以有：，解之得到：

，另外一个解不符合，舍去。

那末根据牛顿2项式有：

那末带入化简得到：

那末我们终究得到：

所以：，这就是Catalan的推导进程。

卡特兰数的利用

1、括号化问题

矩阵连乘：，根据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，问有几种括号化的方案？

2、出栈次序问题

1个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

类似问题

a、有2n个人排成1行进入剧院，入场费5元。其中只有n个人有1张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

b、n个1和n个0组成1个2n位的2进制数，要求从左到右扫描，0的累计数不小于1的累计数，求满足条件的的数。

c、12个人排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第2排比对应的第1排的人高，问排列方式有多少种？

我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第1排,那末剩下的6个肯定是在第2排.用0表示对应的人在第1排,用1表示对应的人在第2排,那末含有6个0,6个1的序列,就对应1种方案.

比如000000111111就对应着

第1排：0 1 2 3 4 5
第2排：6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第1排：0 2 4 6 8 10
第2排：1 3 5 7 9 11问题转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。与情况b1样。

3、给定节点组成2叉树的问题

给定N个节点，能构成多少种形状不同的2叉树？

先取1个点作为顶点,然后左侧顺次可以取0至N⑴个相对应的,右侧是N⑴到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n⑴) + h(2)*h(n⑵) + + h(n⑴)h(0)=h(n))能构成h（N）个

4.n*n棋盘从左下角走到右上角而不穿过主对角线的走法

5.n个+1和n个⑴构成的2n项序列，其部份和总满足：的序列的个数。

Catalan数的高精度处理：利用递归式： h(n)=((4*n⑵)/(n+1))*h(n⑴)

#include <iostream> #include <stdio.h> #include <cmath> using namespace std; int a[105][105]; //大数卡特兰数 int b[105]; //卡特兰数的长度 void catalan() //求卡特兰数 { int i,j,len,carry,temp; a[1][0]=b[1]=1; len=1; for(i=2;i<=100;i++) { for(j=0;j<len;j++) //乘法 a[i][j]=a[i⑴][j]*(4*(i⑴)+2); carry=0; for(j=0;j<len;j++) //处理相乘结果 { temp=a[i][j]+carry; a[i][j]=temp%10; carry=temp/10; } while(carry) //进位处理 { a[i][len++]=carry%10; carry/=10; } carry=0; for(j=len⑴;j>=0;j--) //除法 { temp=carry*10+a[i][j]; a[i][j]=temp/(i+1); carry=temp%(i+1); } while(!a[i][len⑴]) //高位零处理 len--; b[i]=len; } } int main() { int i,n; catalan(); while(~scanf("%d",&n),n) { for(i=b[n]⑴;i>=0;i--) printf("%d",a[n][i]); printf(" "); } return 0; }

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